Hask的类别适合哪些值？
所以我们有Hask Category，其中：
与Functor类似，我们有：
fmap 。 现在，当我们编写程序时，我们基本上转换了值（而不是类型），看起来Hask的类别根本不谈论值。 我试图在整个方程中拟合数值，并提出以下观察结果：
Int -> Int 现在我的问题是 - Hask的范畴（或一般范畴理论）中的值是否有意义？ 如果是，那么任何引用来阅读它，如果没有，那么任何理由。
我希望这个问题很有意义:)
（除非我mark it as code ，否则我将从数学/类别理论中使用含义的单词而非编程。）
一次一个类别
类别理论的一个重要思想是将大型复杂事物视为一个点，因此，当你想到类别Hask时，所有整数的set / group / ring / class / category都被认为是单一点。
同样，你可以在整数上有一个非常复杂的函数，但它只是一个集合（set / class）态射的单个元素（点/箭头）。
你在类别理论中做的第一件事就是忽略细节。 所以Hask这个类别并不在乎Int可以被认为是一个类别 - 这是一个不同的级别。 Int只是Hask中的一个点（对象）。
一级关闭
每个幺半群是一个具有一个对象的类别。 让我们使用它。
整数如何是一个类？
对此有多个答案（因为整数是加法下的幺半群，乘法下是幺半群）。 让我们来补充一下：
你可以把整数视为一个单个对象的范畴，而态射是诸如（+1），（+2），（减4）之类的函数。
你必须坚持认为我将整数7视为数字7，但使用表示（+7）使其看起来是一个类别。 类别理论的定律故意不要说你的态射必须是函数，但如果它具有包含身份和在合成下关闭的一组函数的结构，那么它就更清楚了。
任何monoid都可以像我们刚刚完成整数一样来创建单个对象类别。
整数的函子？
函数f从整数作为操作下一个类别+ ，以某种其他类型的与操作£形成一个类别只能是一个算符，如果你有f(x+y) = f(x) £ f(y) 。 （这被称为幺半同态）。 大多数函数不是态射。
示例态度
String s是++下的monoid，所以它们是一个类。
len :: String -> Int
len = length
len是一个从String到Int的单态Int ，因为len (xs ++ ys) = len xs + len ys ，所以如果你考虑（ String ， ++ ）和（ Int ， + ）作为范畴， len是一个仿函数。
示例非态射
（ Bool ， || ）是一个monoid，以False为标识，所以它是一个单一对象类别。 功能
quiteLong :: String -> Bool
quiteLong xs = length xs > 10
不是一种态度quiteLong "Hello "因为quiteLong "Hello "是False ， quiteLong "there!" 也是False ，但是quiteLong ("Hello " ++ "there!")是True ，而且是False || False False || False不是True 。
因为quiteLong不是一个态射体，它也不是一个函子。
你有什么意见，安德鲁？
我的观点是， 一些 Haskell类型可以被视为类别，但并不是所有的函数都是morhpisms。
我们不会同时考虑不同级别的类别（除非您将这两个类别用于某种奇怪的目的），并且故意没有这些级别之间的理论交互，因为故意没有关于对象和态射的详细信息。
这部分是因为范畴理论在数学中起了一定的作用，它提供了一种语言来描述伽罗瓦理论在有限群/子群和场/场扩展之间可爱的相互作用，这两种看起来完全不同的结构变得密切相关。 后来，同源/同伦理论在拓扑空间和组之间产生了函数，这两个函数变得既迷人又有用，但重点是允许对象和态射在两类函数中彼此非常不同。
（通常，类别理论以哈斯克函数的形式进入哈斯克尔，所以在函数式编程的实践中，这两类是相同的。）
那么...原始问题的答案究竟是什么？
如果你以特定的方式思考它们。 有关详细信息，请参阅PhilipJF的答案。
Int -> Int 我认为你混淆了这两个层次。 函数可以是Hask中的态射，但不是所有函数Int -> Int都是加法结构下的函数，例如fx = 2 * x + 10不是Int和Int之间的函数，所以它不是类别态射（另一种方式（ Int ， + ）到（ Int ， + ），但它是一个态射Int -> Int在类别Hask中。
不，不是所有的函数都是函数，比如quiteLong不是。
Hask的范畴（或一般范畴理论）甚至有价值吗？
类别在类别理论中没有值，它们只有对象和态射，它们被视为顶点和有向边。 对象不一定有价值观，价值观不属于类别理论。
正如我评论过安德鲁的答案（这是非常好的答案），您可以将类型中的值作为该类型的对象作为类别，并将函数看作函子。 为了完整性，这里有两种方法：
设置为无聊类别
数学中最常用的工具之一就是“setoid” - 也就是说，它是一个具有等价关系的集合。 我们可以通过“groupoid”的概念来明确地考虑这一点。 群体是一个类别，每一个态射都有一个倒数，使得f . (inv f) = id f . (inv f) = id和(inv f) . f = id (inv f) . f = id 。
为什么这会捕捉等价关系的想法？ 那么，一个等价关系必须是自反的，但这只是它具有同一性箭头的绝对主张，并且它必须是传递性的，但这只是组合，最后它需要是对称的（这就是我们添加反向的原因）。
因此，任何一组数学上的平等概念因此产生一个类群结构：即唯一的箭头就是同一个箭头！ 这通常被称为“离散类别”。
作为练习，读者可以证明所有函数都是离散类别之间的函子。
如果你认真对待这个想法，你会开始怀疑那些不仅仅是身份的“平等”。 这将允许我们编码“商数类型”。 更重要的是，类群结构还有更多的公理（联想性等），它们是关于“平等证明的平等”的主张，它导致了n群体和更高范畴理论的道路。 这是很酷的东西，虽然要有用，你需要依赖类型，有些还没有完全算出来，当它最终使它成为编程语言时，应该允许
data Rational where
Frac :: Integer -> Integer -> Rational
SameRationa :: (a*d) ~ (b*c) -> (Frac a b) ~ (Frac c d)
这样，每当你进行图案匹配时，你也必须匹配额外的等式公理，从而证明你的函数尊重了Rational的等价关系，但不要担心这一点。 带走只是“离散类别”的解释是非常好的解释。
指示方法
Haskell中的每种类型都有一个额外的值，即undefined值。 这是怎么回事？ 那么，我们可以在每种类型上定义一个关于如何“定义”一个值的偏序，例如
forall a. undefined <= a
而且还有类似的东西
forall a a' b b'. (a <= a') / (b <= b') -> ((a,b) <= (a',b'))
未定义的定义较少，因为它指的是不会终止的值（实际上， undefined函数是通过在每个haskell中抛出一个异常来实现的，但假设它是undefined = undefined 。你不能确定某个东西没有终止如果给你一个undefined你所能做的就是等着瞧，因此，它可能是任何东西。
部分订单以标准方式产生类别。
因此，每种类型都会以这种方式产生一个类别，其中的值是对象。
为什么是函数仿函数？ 嗯，一个函数不能说因为暂停问题而得到一个undefined的函数。 因此，它在遇到一个时必须回到undefined ，或者无论它给出了什么，它都必须得到相同的答案。 这是留给你，以表明真的是一个函子。
虽然还有一些其他的，非常精彩的答案，但他们在一定程度上会错过你的第一个问题。 要清楚，价值根本不存在，在Hask类别中没有意义。 这不是哈斯克可以谈论的。
上面的说法或感觉似乎有点愚蠢，但是我提出它很重要，因为重要的是要注意，类别理论只提供了一个镜头，用于检查像编程语言那样复杂的复杂交互和结构。 期望所有这种结构都归入一个类别的相当简单的概念，这并不是富有成效的。 [1]
另一种说法是，我们试图分析一个复杂的系统，为了找出有趣的模式，将它视为一个类别有时很有用。 正是这种思维方式让我们介绍Hask，检查它是否确实形成了一个类别，注意到Maybe看起来像一个Functor，然后使用所有这些机制来记录一致性条件。
fmap id = id
fmap f . fmap g = fmap (f . g)
无论我们是否引入Hask，这些规则都是有意义的，但通过将它们看作是一个简单结构的简单后果，我们可以在Haskell中发现它，我们理解它们的重要性。
作为技术说明，这个答案的全部假定Hask实际上是“柏拉图式的”Hask，即我们可以尽可能多地忽略底部（ undefined和非终止）。 没有这些，几乎整个争论就会分崩离析。
让我们仔细研究这些定律，因为它们看起来几乎违背了我的初始陈述 - 它们显然是在价值层面上运作的，但“哈斯克中并不存在价值”，对吧？
那么，一个答案就是仔细观察一个分类仿函数是什么。 显然，它是两个类别（比如C和D）之间的映射，它将C的对象带到D的对象，C的箭头指向D的箭头。值得注意的是，通常这些“映射”不是分类箭头 - 它们只是形成类别之间的关系并不一定与类别具有结构上的一致性。
这很重要，因为即使考虑Haskell的Haskell Functor s，endofunctors，我们也必须小心。 在Hask中，对象是Haskell类型，箭头是这些类型之间的Haskell函数。
再来看看Maybe 。 如果它将成为Hask的一名执行官，那么我们需要一种方法将Hask中的所有类型都带到Hask中的其他类型中。 这个映射不是一个Haskell函数，即使它可能像一个： pure :: a -> Maybe a不符合条件，因为它在值级别运行。 相反，我们的对象映射是Maybe本身：对于任何类型a我们可以形成类型Maybe a 。
这已经突出了在没有值的情况下在Hask中工作的价值---我们确实想要分离出不依赖pure的Functor的概念。
我们将通过检查我们的Maybe endofunctor的箭头映射来开发Functor的其余部分。 在这里，我们需要一种方法将Hask的箭头映射到Hask的箭头。 现在让我们假设这不是一个Haskell函数 - 它不一定是 - 所以为了强调它，我们将以不同的方式写它。 如果f是一个Haskell函数a -> b那么Maybe [ f ]是一些其他的Haskell函数Maybe a -> Maybe b 。
现在，很难不跳过，只是开始调用Maybe [ f ]“ fmap f ”，但我们可以做更多的工作，然后再进行跳转。 也许[ f ]需要有一定的连贯条件。 特别是，对于任何类型的a在Hask我们有一个id箭头。 在我们的元语言中，我们可以将它称为id [ a ]，并且我们知道它也通过Haskell名称id :: a -> a 。 总而言之，我们可以用这些来说明工作人员一致性条件：
对于Hask a所有对象，我们有这个Maybe [id [ a ]] = id [ Maybe a ]。 对于Hask f和g任何两个箭头，我们都有那个Maybe [ f . g f . g ] =可能[ f ]。 也许[ g ]。
最后一步是注意Maybe [_]恰好可以作为Haskell函数本身作为Hask对象全部forall ab . (a -> b) -> (Maybe a -> Maybe b)的值来实现forall ab . (a -> b) -> (Maybe a -> Maybe b) forall ab . (a -> b) -> (Maybe a -> Maybe b) 。 这给了我们Functor 。
尽管上述内容相当复杂且技术性强，但将Hask和分类内涵工具的概念与Haskell实例化保持直接分离还有一点很重要。 特别是，我们可以发现所有这种结构，而不需要fmap作为真正的Haskell函数存在。 哈斯克是一个没有在价值层面引入任何东西的类别。
这就是Hask作为一个类别观看的真正跳动心脏。 用Functor标识Hask的endofunctors的符号需要更多的线条模糊。
这种模糊是合理的，因为Hask有指数。 这是一种棘手的方式，它说整个分类箭头与Hask中特定的特殊对象之间存在统一。
为了更加明确，我们知道对于Hask的任何两个对象，比如a和b ，我们可以讨论这两个对象之间的箭头，通常表示为Hask（ a ， b ）。 这只是一个数学集合，但我们知道Hask中有另一种与Hask（ a ， b ）密切相关的类型： (a -> b) ！
所以这很奇怪。
我最初宣称一般Haskell值在Hask的分类表示中绝对没有表示。 然后我继续证明，我们可以用Hask做很多事情，只使用它的分类概念，而不是将Haskell内部的那些片段作为值进行粘贴。
但是现在我注意到，类似于a -> b的类型的值实际上确实存在于元语言集合Hask（ a ， b ）中的所有箭头。 这真是一个窍门，正是这种元语言模糊使得指数类别如此有趣。
不过，我们可以做得更好一点！ 哈斯克也有一个终端对象。 我们可以通过调用0来谈论这个元语言，但我们也知道它是Haskell类型() 。 如果我们查看Hask对象a我们知道Hask（ () ， a ）中有一整套分类箭头。 此外，我们知道这些对应于类型() -> a 。 最后，由于我们知道给定任何函数f :: () -> a我们可以通过应用()立即得到一个a ，可能想要说Hask（ () ， a ）中的分类箭头恰好是Haskell的值键入a 。
这应该是完全混乱或令人难以置信的令人兴奋的。
通过坚持我的最初陈述，我将在哲学上有点结束：哈斯克根本不谈论哈斯克尔的价值。 它确实不是一个纯粹的类别---分类是有趣的，正是因为他们是非常简单的，因此并不需要的类型和值以及所有这些多余的，明确的概念typeOf包容等。
但是，我也许很糟糕地表明，即使是一个严格的类别，Hask也有一些与Haskell的所有值非常相似的东西：Hask（ () ， a ）的箭头，用于每个Hask对象a 。
在哲学上，我们可能会争辩说，这些箭头并不是我们正在寻找的Haskell值 - 它们仅仅是替身，绝对的嘲讽。 你可能会争辩说他们是不同的东西，但只是碰巧与Haskell值一一对应。
我其实认为这是一个非常重要的想法。 这两件事情是不同的，他们只是表现得很相似。
非常相似。 任何类别都可以让你编写箭头，所以我们假设我们在Hask（ a ， b ）和Hask（ () ， a ）中选择了一些箭头。 如果我们将这些箭头与类别组合相结合，我们将在Hask（ () ， b ）中获得一个箭头。 把它全部放在头上，我们可以说我刚刚做的是找到一个类型a -> b的值，类型a的值，然后将它们组合得到类型b的值。
换句话说，如果我们侧身观察事物，我们可以将分类箭头组合看作函数应用的一般形式。
这就是Hask这样的分类如此有趣的原因。 大致来说，这些类别被称为笛卡尔封闭类别或CCC。 由于既有初始对象也有指数（它们也需要产品），它们具有完全建模类型lambda微积分的结构。
但他们仍然没有价值。
[1]如果您在阅读我的答案的其余部分之前阅读本文，请继续阅读。 事实证明，虽然期望这种情况发生是荒谬的，但实际上它确实是这样。 如果您在阅读我的整个答案后阅读本文，那么让我们来反思CCC的酷炫程度。
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