这个修改过的二十一点游戏的最佳获胜策略是什么？

2018-06-10 08:50:42

问题

是否有最好的价值继续保持下去，以便我赢得尽可能多的比赛？如果是这样，那是什么？

编辑：是否有一个确切的获胜概率，可以计算一个给定的限制，独立于任何对手的行为？（自大学以来我没有做过概率统计）。我有兴趣看到这个答案与我的模拟结果进行对比。

编辑：修正了我算法中的错误，更新了结果表。

背景

我一直在玩一个修改过的二十一点游戏，其中有一些来自标准规则的烦人的规则调整。我已经制定了与标准二十一点规则不同的规则，还包括那些不熟悉的二十一点规则。

修改的21点规则

恰好两个人类玩家（经销商无关）

每个玩家都面朝下打两张牌

玩家都不知道对手的牌的价值

在双手完成之前，双方都不知道对手的价值

目标是尽可能接近21分。成果：

如果玩家的A和B具有相同的分数，则游戏是平局

如果玩家的A和B的得分超过21（半场），比赛是平局

如果玩家A的得分<= 21并且玩家B已经被击中，则玩家A获胜

如果玩家A的分数大于玩家B的分数，并且都没有被破坏，则玩家A获胜

否则，玩家A输了（B赢了）。

卡值得：

第2到第10张牌值得相应的点数

牌J，Q，K值10分

Card Ace值1或11分

每个玩家可以一次申请一张附加卡，直到：

玩家不再需要（停留）

玩家的得分，任何A的点数都为1，超过21（半身像）

玩家都无法知道对方随时使用了多少张牌

一旦双方球员都停赛或被淘汰，获胜者将按照上述规则3进行确定。

每手牌后整个牌组都重新洗牌，所有52张牌再次出场

什么是一副牌？

一副扑克牌由52张牌组成，其中四种值分别为以下13个值：

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，J，Q，K，A

没有其他卡的财产是相关的。

这是一个Ruby表示：

CARDS = ((2..11).to_a+[10]*3)*4

算法

我已经接近这个如下：

如果我的分数是2到11，我会一直想打，因为这是不可能的

对于12到21的每一个分数，我都会模拟N手对抗对手

对于这些N手，得分将成为我的“限制”。一旦达到极限或更高，我会留下。

我的对手会遵循完全相同的策略

我将模拟N组每个排列（12..21），（12..21）

打印每个排列的胜负差异以及净赢输入差异

这是在Ruby中实现的算法：

#!/usr/bin/env ruby
class Array
  def shuffle
    sort_by { rand }
  end

  def shuffle!
    self.replace shuffle
  end

  def score
    sort.each_with_index.inject(0){|s,(c,i)|
      s+c > 21 - (size - (i + 1)) && c==11 ? s+1 : s+c
    }
  end
end

N=(ARGV[0]||100_000).to_i
NDECKS = (ARGV[1]||1).to_i

CARDS = ((2..11).to_a+[10]*3)*4*NDECKS
CARDS.shuffle

my_limits = (12..21).to_a
opp_limits = my_limits.dup

puts " " * 55 + "opponent_limit"
printf "my_limit |"
opp_limits.each do |result|
  printf "%10s", result.to_s
end
printf "%10s", "net"
puts

printf "-" * 8 + " |"
print "  " + "-" * 8
opp_limits.each do |result|
  print "  " + "-" * 8
end
puts

win_totals = Array.new(10)
win_totals.map! { Array.new(10) }

my_limits.each do |my_limit|
  printf "%8s |", my_limit
  $stdout.flush
  opp_limits.each do |opp_limit|

    if my_limit == opp_limit # will be a tie, skip
      win_totals[my_limit-12][opp_limit-12] = 0
      print "        --"
      $stdout.flush
      next
    elsif win_totals[my_limit-12][opp_limit-12] # if previously calculated, print
      printf "%10d", win_totals[my_limit-12][opp_limit-12]
      $stdout.flush
      next
    end

    win = 0
    lose = 0
    draw = 0

    N.times {
      cards = CARDS.dup.shuffle
      my_hand = [cards.pop, cards.pop]
      opp_hand = [cards.pop, cards.pop]

      # hit until I hit limit
      while my_hand.score < my_limit
        my_hand << cards.pop
      end

      # hit until opponent hits limit
      while opp_hand.score < opp_limit
        opp_hand << cards.pop
      end

      my_score = my_hand.score
      opp_score = opp_hand.score
      my_score = 0 if my_score > 21 
      opp_score = 0 if opp_score > 21

      if my_hand.score == opp_hand.score
        draw += 1
      elsif my_score > opp_score
        win += 1
      else
        lose += 1
      end
    }

    win_totals[my_limit-12][opp_limit-12] = win-lose
    win_totals[opp_limit-12][my_limit-12] = lose-win # shortcut for the inverse

    printf "%10d", win-lose
    $stdout.flush
  end
  printf "%10d", win_totals[my_limit-12].inject(:+)
  puts
end

用法

ruby blackjack.rb [num_iterations] [num_decks]

该脚本默认为100,000次迭代和4次套牌。 100,000快速的MacBook Pro需要大约5分钟。

产出（N = 100 000）

                                                       opponent_limit
my_limit |        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21       net
-------- |  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------
      12 |        --     -7666    -13315    -15799    -15586    -10445     -2299     12176     30365     65631     43062
      13 |      7666        --     -6962    -11015    -11350     -8925      -975     10111     27924     60037     66511
      14 |     13315      6962        --     -6505     -9210     -7364     -2541      8862     23909     54596     82024
      15 |     15799     11015      6505        --     -5666     -6849     -4281      4899     17798     45773     84993
      16 |     15586     11350      9210      5666        --     -6149     -5207       546     11294     35196     77492
      17 |     10445      8925      7364      6849      6149        --     -7790     -5317      2576     23443     52644
      18 |      2299       975      2541      4281      5207      7790        --    -11848     -7123      8238     12360
      19 |    -12176    -10111     -8862     -4899      -546      5317     11848        --    -18848     -8413    -46690
      20 |    -30365    -27924    -23909    -17798    -11294     -2576      7123     18848        --    -28631   -116526
      21 |    -65631    -60037    -54596    -45773    -35196    -23443     -8238      8413     28631        --   -255870

解释

这是我奋斗的地方。我不太清楚如何解释这些数据。乍看之下，似乎总是停留在16日或17日的路上，但我不确定这是否容易。我认为实际的人类对手不太可能会留在12,13和14可能，所以我应该抛出这些对手限制值？另外，如何修改这个以考虑真实人类对手的变化？例如，真正的人类可能仅仅基于“感觉”而保持在15，并且也可能基于“感觉”

我怀疑你的结果。例如，如果对手的目标是19，那么你的数据表明，击败他的最好方法是打到20，但不会通过基本的气味测试。你确定你没有错误吗？如果我的对手要争取19或更好，我的策略是避免不惜一切代价地破釜沉舟：坚持13或更高（甚至12？）。要走20场就要错了 - 不仅仅是小小的差距，而且还有很多。

我怎么知道你的数据不好？因为你玩的二十一点游戏并不罕见 。这是经销商在大多数赌场玩的方式：无论其他玩家手中握有什么东西，庄家都可以达到目标，然后停下来。那个目标是什么？站在硬17并击中软17.当你摆脱脚本中的错误，它应该确认赌场知道他们的业务。

当我对代码进行以下替换时：

# Replace scoring method.
def score
  s = inject(0) { |sum, c| sum + c }
  return s if s < 21
  n_aces = find_all { |c| c == 11 }.size
  while s > 21 and n_aces > 0
      s -= 10
      n_aces -= 1
  end
  return s
end

# Replace section of code determining hand outcome.
my_score  = my_hand.score
opp_score = opp_hand.score
my_score  = 0 if my_score  > 21
opp_score = 0 if opp_score > 21
if my_score == opp_score
  draw += 1
elsif my_score > opp_score
  win += 1
else
  lose += 1
end

结果与赌场经销商的行为一致： 17是最佳目标 。

n=10000
                                                       opponent_limit
my_limit |        12        13        14        15        16        17        18        19        20        21       net
-------- |  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------  --------
      12 |        --      -843     -1271     -1380     -1503     -1148      -137      1234      3113      6572
      13 |       843        --      -642     -1041     -1141      -770       -93      1137      2933      6324
      14 |      1271       642        --      -498      -784      -662        93      1097      2977      5945
      15 |      1380      1041       498        --      -454      -242      -100       898      2573      5424
      16 |      1503      1141       784       454        --      -174        69       928      2146      4895
      17 |      1148       770       662       242       174        --        38       631      1920      4404
      18 |       137        93       -93       100       -69       -38        --       489      1344      3650
      19 |     -1234     -1137     -1097      -898      -928      -631      -489        --       735      2560
      20 |     -3113     -2933     -2977     -2573     -2146     -1920     -1344      -735        --      1443
      21 |     -6572     -6324     -5945     -5424     -4895     -4404     -3650     -2560     -1443        --

一些其他的评论 ：

目前的设计是不灵活的。只需要很少的重构，就可以在游戏操作（交易，洗牌，保持运行状态）和玩家决策之间实现清晰的分离。这将允许您针对彼此测试各种策略。目前，你的策略被嵌入到所有与游戏操作代码纠结在一起的循环中。您的实验可以更好地通过设计让您可以随意创建新玩家并制定战略。

两点评论：

看起来没有一个基于“命中限制”的统治策略：

如果你选择16，你的对手可以选择17

如果你选择17，你的对手可以选择18

如果你选择18，你的对手可以选择19

如果你选择19，你的对手可以选择20

如果你选择20，你的对手可以选择12

如果你选择12，你的对手可以选择16。

2.你没有提到玩家是否可以看到他们的对手画了多少张牌（我想是这样）。我希望将这些信息纳入“最佳”战略。（回答）

由于没有关于其他玩家决定的信息，游戏变得更简单。但是由于显然没有统治性的“纯粹”策略，所以最优策略将是一个“混合”策略。也就是说：对于每个得分从12到21的一组概率，您是否应该停止或抽出另一张牌（编辑：对于给定得分，您将需要不同的概率，而对于没有对手的对手，则需要不同的概率）。然后执行策略需要您可以随机选择（根据概率）每次新抽签后是停止还是继续。然后你可以找到游戏的纳什均衡。

当然，如果你只是问一个比较简单的问题：针对次优球员的最佳赢球策略是什么（例如那些总是停在16,17,18或19的球员），你会问一个完全不同的问题，你将不得不指定与其他玩家相比，你的确切方式是有限的。

以下是关于您收集的数据的一些想法：

这对于告诉你你的“命中限制”应该是多少有用，但前提是你知道你的对手正在遵循类似的“命中限制”策略。

即使如此，如果你知道你的对手的“命中限制”是或可能是什么，它才会非常有用。你可以选择一个限制，让你赢得比他们更多的胜利。

您可以或多或少地忽略表中的实际值。无论他们是正面还是负面都很重要。

要以另一种方式展示您的数据，第一个数字是您的对手的限制，第二组数字是您可以选择并赢得的限制。带星号的是“winningest”选项：

12:   13, 14, 15, 16*, 17, 18
13:   14, 15, 16*, 17, 18, 19
14:   15, 16, 17*, 18, 19
15:   16, 17*, 18, 19
16:   17, 18*, 19
17:   18*, 19
18:   19*, 20
19:   12, 20*
20:   12*, 13, 14, 15, 16, 17
21:   12*, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

从中可以看出，如果对手选择随机的“命中限制”选择策略，17或18的命中限制是最安全的选择，因为17和18将击败7/10对手的“命中限制”。

当然，如果你的对手是人类，你不能回复他们自我施加18或19以上的“命中限制”，这样就完全否定了以前的计算。但我仍然认为这些数字很有用：

我同意，对于任何一手牌，你都可以有把握地相信你的对手将有一个限制，在这之后他们会停止命中，他们会留下来。如果你能猜到这个限制，你可以根据这个估算选择你自己的极限。

如果你认为他们乐观或者乐于冒险，那么选择一个20的限制 - 长期来说，如果他们的限制高于17，他们就会打败他们。如果你确实有信心，选择一个限制12 - 如果他们的限制在18以上，并且在这里有更频繁的奖金，那将会赢。

如果你认为他们保守或冒险，选择18的限制。如果他们自己在18以下的任何地方，这将会赢。

对于中立的场合，也许想想你的限制会是什么，没有任何外界的影响。你通常会打到16？一个17？

总之，你只能猜测你的对手的限制是什么，但如果你猜对了，你可以用这些统计数据长期打败他们。

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